9. En stor og en liten

Cournot`s og Bertrand`s duopolmodeller viser hvordan to omtrent like store bedrifter tilpasser seg til hverandre. Hvis vi derimot har en dominerende aktør og en liten, kan det tenkes at den lille vil tilpasse seg til hva den store gjør (Ringstad 1998). I en slik situasjon passer Stackelberg`s duopolmodell bedre (Stackelberg 1934).

Modellen bruker samme etterspørselsfunksjon og resultatfunksjoner som i Cournot`s modell, men den er dynamisk: Først velger bedrift 1 hvor mye den vil produsere. Bedrift 2 ser hvor mye bedrift 1 produserer, og velger så hvor mye den skal produsere. I dette tilfellet vil bedrift 1 være en stor bedrift, mens bedrift 2 være en liten.

Resultatfunksjonen for bedrift 1 blir (Gibbons 1992) (jf. kapittel 4):

Fordi vi har et dynamisk spill, løser vi spillet med baklengs induksjon. Det betyr at vi først finner ut av hva som er bedrift 2`s beste respons til spiller 1`s handlinger. Under Cournot`s modell regnet vi ut spiller 2`s beste-respons funksjon som:

Dette er løsninga på de delspillene hvor spiller 2 velger kvantum.

Vi setter denne funksjonen inn i spiller 1 sin resultatfunksjon:

Som kan omskrives til:

Maksimum finner vi ved å derivere funksjonen og sette den lik null:

Bedrift 1 vil altså tilpasse seg på samme måte som om han hadde hatt monopol. For nå å regne ut hva bedrift to vil produsere, setter vi dette uttrykket inn i spiller 2`s beste-respons funksjon:

Eller med tall, ser vi at bedrift 1 produserer (100 – 10) / 2 = 45 enheter, og bedrift 2 produserer (100 – 10) / 4 = 22,5 enheter. Prisen som produktene selges til, blir nå 100 – 67,5 = 32,5

For å sammenligne Stackelberg`s modell med Cournot`s modell, kan vi regne ut konsumentoverskuddet og produsentoverskuddet:

PO = 67,5 × 32,5 – 67,5 ×10 =1 518, 17

Bedrift 1 og konsumentene tjener altså på at bedrift 1 velger kvantumet først, mens bedrift 2 taper.

Men hvorfor gir denne modellen et annet resultat enn Cournot`s modell? Hvorfor taper bedrift 2 på å vite hva bedrift 1 gjør? Hvis bedrift 1 velger å produsere samme kvantum som i Cournot`s modell (30 enheter), så bør bedrift 2 også gjøre det, og motsatt. Så hvorfor kan ikke bedrift 2 på forhånd si at den vil produsere 30 enheter, for dermed å tvinge bedrift 1 til å gjøre det samme?

Problemet her er at dette vil være en trussel som ikke er troverdig, fordi bedrift 2 vil tape på det. Dette er samme problem som terroristen hadde i gisselspillet i forrige kapittel. Når bedrift 1 produserer 45 enheter, vil bedrift 2 tjene mer på å produsere 22,5 enn 30 enheter. Bedrift 2 sitt mål er å maksimere fortjenesten. Dette vet bedrift 1, og kan ta hensyn til det. Bedrift 2 taper altså på å ha mer informasjon (Gibbons 1992), eller mer presist, så taper bedrift 2 på at bedrift 1 vet at bedrift 2 har mer informasjon.