8. Gisseldrama

I kapittel 7 løste vi et dynamisk spill med baklengs induksjon, uten å snakke om Nash-likevekter. Men dette betyr ikke det ikke finnes Nash-likevekter i dynamiske spill. Et eksempel på hvordan Nash-likevekter kan finnes i slike spill, har vi i Hovi og Rasch (1993), det såkalte Gisselspillet.

I dette spillet er det to spillere, ei regjering og en terrorist. Terroristen har muligheten til å ta et gissel for å prøve å få regjeringa til å gå med på visse politiske krav. Hvis han tar gisselet, truer han med å drepe det hvis regjeringa ikke gir etter. Regjeringa har så valget mellom å gi etter og å ikke gi etter. Hvis regjeringa ikke gir etter har terroristen valget mellom å drepe eller frigi gisselet.

Regjeringas preferanser for de forskjellige utfallene, er:

            -Best(4): Ingen aksjon

            -Nest best(3): Gisselet tas, regjeringa står fast, gisselet løslates

            -Nest verst (2): Gisselet tas, regjeringa gir etter

            -Verst (1): Gisselet tas, regjeringa står fast, gisselet blir drept

Videre antar vi at terroristen har følgende preferanser:

            -Best (4): Gisselet tas, regjeringa gir seg

            -Nest best (3): Ingen aksjon

            -Nest  verst (2): Gisselet tas, regjeringa står fast, gisselet løslates

            -Verst (1): Gisselet tas, regjeringa står fast, gisselet drepes

Terroristens mål er altså å få regjeringa med på kravene. Han har ikke noe ønske om å drepe gisselet. Det koster noe for terroristen (f.eks. følelsesmessig) å ta livet av gisselet.

Spillet kan illustreres med følgende spilltre (terroristens resultat står først, deretter regjeringas):

Figur 8.1 Gisselspillet i utvidet form. Hentet fra Hovi og Rasch (1993)

I dette spillet har regjeringa to mulige strategier:

            -Gi etter

            -Stå fast

Terroristen derimot, har tre strategier:

            -Ikke gå til aksjon

            -Gå til aksjon, men frigi gisselet hvis regjeringa ikke gir etter

            -Gå til aksjon, og drepe gisselet hvis regjeringa ikke gir etter

Et alternativ til å vise dette spillet som et spilltre, er å vise det i en tabell. Når et spill vises med en tabell, er det som nevnt i normalform, eller i strategisk form:

Tabell 8.1 Gisselspillet i normalform (eller strategisk form)

Vi ser at dette spillet har to Nash-likevekter:

-Hvis terroristen ikke går til aksjon er det best (eller like bra) for regjeringa å stå fast

-Og hvis regjeringa står fast er det best for terroristen å ikke gå til aksjon

Og:

-Hvis terroristen går til aksjon og planlegger å drepe gisselet, er det best for regjeringa å gi etter

-Og hvis regjeringa vil gi etter koster det ingenting for terroristen å true med å drepe gisselet, han bør derfor gå til aksjon

Hvilken av Nash-likevektene skal spillerne så prøve å nå? Terroristen vil foretrekke Nash-likevekta at han går til aksjon og regjeringa gir etter, mens regjeringa foretrekker ingen aksjon.

Vi kan løse spillet med baklengs induksjon, og vil da finne ut at det som vil skje er følgende:

-Hvis regjeringa ikke gir etter, vil allikevel ikke terroristen drepe gisselet

-Regjeringa vil derfor ikke gi etter

-Terroristen vil da ikke gå til aksjon

Altså, den Nash-likevekta som vil bli nådd i praktisk spill, er den øverst til venstre. Men hvordan kan det da ha seg at den andre Nash-likevekta eksisterer?

For at denne likevekta skal bli realisert, må terroristen velge strategien som går ut på å drepe gisselet hvis regjeringa ikke gir etter. Selv om regjeringa ikke gir etter, er det ikke rasjonelt for terroristen å drepe gisselet. Men hvis terroristen velger denne strategien og regjeringa velger å gi etter, vil terroristen aldri havne i situasjonen å måtte velge mellom å drepe gisselet eller ikke. Derfor er dette også ei Nash-likevekt (Binmore 1992): Det er ikke rasjonelt for terroristen å drepe gisselet, og det vil han heller ikke gjøre om denne likevekta realiseres. Men vi ser at denne Nash-likevekta forutsetter at terroristen bruker en tom trussel.

Den andre likevekta sier vi at er ei delspill-perfekt Nash-likevekt. Ei Nash-likevekt er delspill-perfekt hvis den er ei Nash-likevekt i hvert delspill. Gisselspillet har tre delspill. Hvert delspill begynner ved en ny node, og fortsetter oppover i spilltrèet. Det første delspillet som gisselspillet består av, er hele spillet. De to andre er:

Figur 8.2 Delspillene i Gisselspillet. Et delspill starter på en node som ikke er sluttnode og fortsetter helt opp i spilltrèet.

Hvis vi ser på det første av disse to delspillene, ser vi at begge spillerne har to mulige strategier. Vi kan vise disse i en tabell:

Tabell 8.2 Delspillet til venstre i figur 8.2 vist på strategisk form

Drap er Nash-likevekt også i dette delspillet. Men hvis vi ser på det minste delspillet, har vi bare en spiller. Dette er da ikke noe egentlig spill, men vi kan allikevel vise hva terroristen vil tjene på de ulike strategiene:

Tabell 8.3 Delspillet til høyre i figur 8.2 vist på strategisk form

Av tabellen ser vi at drap ikke er best strategi i dette delspillet, selv om strategien er ei Nash-likevekt når vi ser på hele spillet under ett. Den er derfor ikke delspill-perfekt.

Konklusjonen vi kan trekke av dette eksempelet, er at den Nash-likevekta vi finner når vi løser et spill med baklengs induksjon alltid vil være delspill-perfekt.