4. Baker Skalk mot baker Skorpe

Baker Skalk satt stille med kjøkkenbordet. For en elendig dag. Først hadde han blitt vekket tidlig på morgenen av at noen hadde brutt seg inn hos han. Nå leste han i avisa at en baker fra nabobyen hadde planlagt å flytte til Spillby. Og starte et nytt bakeri her! Han rev ut bildet av denne nye baker Skorpe fra avisa og kastet det inn i ovnen. I det samme ringte klokka på komfyren . Dagens forsyning av brød var ferdig. Hver dag hadde han laget 45 brød og solgt dem til 55 kroner stykket. Men burde han gjøre det samme i morgen når baker Skorpe ville åpne sitt bakeri? Og hvor mange brød ville Skorpe lage? Skalk har et problem. Han spiller et spill mot baker Skorpe.

Hvis vi har et marked med to tilbydere (produsenter) og mange etterspørrere har vi et duopol. I et slikt marked må begge produsentene ta hensyn til hva de tror den andre vil gjøre. En spillteoretisk modell for et duopol er Cournot`s modell (Cournot 1897).

Denne modellen tar utgangspunkt i at produsentene velger hvor mye de skal produsere. Prisen de må selge til for å få solgt alle produktene bestemmes av markedet, og er gitt ved funksjonen:

P(Q) = a - Q

Der P er prisen, a er en konstant, og Q er det totale tilbudet i markedet (Gibbons 1992). Vi ser av funksjonen at når produksjonen av en vare øker, må produsentene selge varen til stadig lavere priser for å få solgt alle.

Før vi ser på hva som skjer i et duopol, kan vi se på hvordan en monopolist vil tilpasse seg: For baker Skalk koster det c kroner å produsere et brød. Fortjenestefunksjonen hans blir derfor:

Fortjeneste = Inntekter - kostnader

eller

Maksimum finner vi ved å derivere funksjonen og sette den lik null:

Hvis vi antar at a = 100 og c = 10, ser vi at baker Skalk vil produsere (100 - 10) / 2 = 45 brød. Prisen de selges for blir 100 - 45 = 55 kroner.

Vi kan også regne ut konsumentoverskuddet som: 

Og produsentoverskuddet:

55 × 45 - 10 × 45 = 2 025

Men baker Skalk`s problem er nå at en ny baker har planlagt å slå seg ned i byen; baker Skorpe. Dette er et spill med to spillere. Spillernes strategier er her at de velger hvor mange brød de skal produsere. Det er altså et uendelig antall strategier, og det blir derfor vanskelig å vise resultatene i en tabell. Det fører til at vi må finne Nash-likevekta matematisk.

Vi antar at Skorpe også produserer brød til c (= 10) kroner stykket, og vi bruker q1 om antall brød baker Skalk produserer, og q2 om antall brød baker Skorpe produserer.

 Baker Skalk`s fortjeneste-funksjon blir nå:

som kan omregnes til

Også her deriverer vi funksjonen med hensyn på q1. Det gir oss:

Denne funksjonen viser hva det er optimalt for baker Skalk å gjøre når han vet hva baker Skorpe gjør. Hvis Skorpe for eksempel produserer 20 brød, bør Skalk produsere (100 - 20 - 10) / 2 = 35 brød.

Men i spillteorien forutsetter vi at alle spillerne er rasjonelle. Det betyr blant annet at Skorpe vil gjøre akkurat de samme beregningene. Han kommer derfor fram til sin beste-respons funksjon:

Vi så i kapittel 3 at vi har ei Nash-likevekt der spillernes beste-respons funksjoner krysses.

I figur 4.1 er begge funksjonene tegnet inn i samme diagram:

Figur 4.1 Figuren viser baker Skalk og baker Skorpe`s beste-respons funksjoner. Der funksjonene krysses har vi ei Nash-likevekt.

Vi ser at begge bakerne vil produsere 30 brød.

For å regne ut Nash-likevekta, setter vi Skorpe`s beste-respons funksjon inn i Skalk sin. Dette gir oss:

Av denne funksjonen ser vi at baker Skalk vil produsere (100 - 10) / 3 = 30 brød. Og fordi baker Skorpe inngår helt symmetrisk i modellen, vil han gjøre det samme.

Prisen brødene selges for nå, blir 100 - 30 - 30 = 40 kroner.

Konsumentoverskuddet blir: 

Og produsentoverskuddet:

60 × 40 - 60 × 10 = 1 800

Dette betyr at konsumentene tjener og produsentene taper på at produsentene får konkurranse. Men konsumentene tjener mer enn produsentene taper: Samlet samfunnsøkonomisk overskudd blir nå 3600, mot 3037,5 i monopoltilfellet. Monopol fører altså til et samfunnsøkonomisk effektivitetstap.